Андрей Челищев родился 7 декабря 1901 в Москве в дворянской семье. Его отец был главой императорского суда. Андрей был болезненным ребенком, и до 1911 воспитывался дома. Потом Челищев обучался в военной академии в Киеве, но был вынужден прервать обучение из-за революции 1917 года и воссоединиться с семьёй, которая покинула Москву. В 1918-1921 Челищев сражался против коммунистов в Гражданской Войне. В 1921 был тяжело ранен в Крыму, когда вместе с товарищами попал под обстрел, его даже сначала приняли за мёртвого, но Андрей Челищев восстановился и покинул Россию, переехав к семье в Югославию. Потом Андрей изучал сельское хозяйство в университете в Брно (Чехия) и с 1930 продолжил образование во Франции - в Институте Пастера и Национальном Институте Агрохимии, где изучал микробиологию и разные аспекты виноделия.