Андрей Михайлович Заушкевич родился в Андреаполе Псковской области 27 июля 1918 в семье полковника Михаила Тимофеевича Заушкевича и представительницы старинного дворянского рода Людмилы Кушелевой. Впоследствии отец погиб в Гражданской войне, воюя на стороне Белого Движения. Людмила Кушелева эвакуировалась из России и в 1925 прибыла в Чили, где занималась тем, что давала уроки игры на пианино. Андрей учился в начальной школе на проспекте Матта, в лицее им. Эдуардо де ла Барра в Вальпараисо. Потом поступил в Университет Чили на специальность "инженер горнорудного дела". В 1942 окончил этот ВУЗ и поехал на 2 года в Университет Мичигана в США для повышения квалификации. Женился на Кармен Домейко, внучке Игнатия Домейко - национального Героя Чили, Литвы, Белоруссии и Польши. У них родилось 4 детей - Андрей, Михаил, Кира и Ана Мария.