Алексей Борисович Легков родился 16 июля 1923 в городе Банат в Югославии в семье белоэмигрантов Бориса Федоровича Легкова и Марии Кузьминичны Ситниковой. Его отец был военным, участником Первой Мировой, на которой в 1915 его ранили и он оказался в лагере военнопленных около озера Ван в Турции. В 1917 смог вернуться в Россию и вступил там в Белую Армию, где служил штабс-капитаном Алексеевского пехотного полка. Был контужен. После поражения Белых эвакуировался из Крыма в 1920 в Югославию, где в Сараево встретил жену, также эмигрантку из России.